문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 케일리-해밀턴 정리 (문단 편집) === 대수적 증명 === 상당히 [[대수학]]적인 다음의 증명은 순수수학 교재에서 많이 다루는 편이다. [math( n \times n )] 행렬 [math(A)]의 특성방정식을 [math(\displaystyle p_A(\lambda) = \det \left(\lambda I_n -A \right) = \lambda^n + c_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + c_1 \lambda + c_0 )] 로 쓰자. 이때 [math(\lambda I_n - A)]에 대한 [[크라메르 공식#개념 일반화|크라메르 공식]] [math( (\lambda I_n - A) \ \mathrm{adj}(\lambda I_n - A) = \det \left(\lambda I_n -A \right) I_n = p_A(\lambda) I_n )] 을 생각한다. 한편 [math(\text{adj}(\lambda I_n -A))]의 각 성분들은 [math(\lambda)]에 대한 n-1차 이하의 다항식이기 때문에, [math(\lambda)]로 정리하여 [math(\displaystyle \text{adj}(\lambda I_n -A)=\sum_{i=0}^{n-1} \lambda^i B_i)] 로 쓸 수 있다.(여기서 [math(B_i)]들은 적당한 [math(n \times n )] 행렬이다.) 이제 [math( (\lambda I_n - A) \ \mathrm{adj}(\lambda I_n - A) = p_A(\lambda) I_n )]에 대입해 보면 [math(\displaystyle (\lambda I_n - A) \left( \sum_{i=0}^{n-1} \lambda^i B_i \right) = \lambda^n I_n + \lambda^{n-1} c_{n-1}I_n+ \cdots + \lambda c_1 I_n+ c_0 I_n)] 이다. 여기서 양변의 [math(\lambda^i)]의 계수를 비교하면 [math(B_{n-1} = I_n , \ \ \ B_{i-1} - A B_i = c_i I_n \ (1\leq i \leq n-1) , \ \ \ -AB_0 =c_0 I_n )] 이다. 따라서 [math(\begin{aligned} p_A\left(A \right) &= A^n + c_{n-1} A^{n-1} + \cdots + c_1 A + c_0 I_n \\ &= A^n B_{n-1} + A^{n-1} \left(B_{n-2} - A B_{n-1} \right) + \cdots + A \left(B_0 - A B_{1} \right) -AB_0 = O . \end{aligned})]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기